\chapter{\\[-2ex] \LARGE \textbf{利用对称性简化高维傅里叶变换的理论与应用} \\[-2ex]}

\author{李国斌}
\date{2025.08.31}
	
	\begin{abstract}
		高维快速傅里叶变换（FFT）是科学计算的基石，但其计算复杂度随维度指数增长，成为许多大规模模拟的瓶颈。本文探讨一种基于物理对称性的根本性简化策略：当系统具有旋转对称性时，三维FFT可退化为一系列一维汉克尔变换。我们将从数学上严格推导球对称性与球谐波展开下的傅里叶变换简化形式，分析其计算复杂度的巨大优势，并深入阐述该方法在量子化学、宇宙学、计算机图形学等领域的成功应用。理论分析表明，对于完美球对称系统，复杂度可从$O(N^3\log N)$降至$O(N\log N)$，实现$O(N^2)$量级的加速。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	快速傅里叶变换（FFT）算法将离散傅里叶变换（DFT）的计算复杂度从$O(N^2)$降至$O(N\log N)$，堪称二十世纪最重要的算法之一。其高维推广（如二维、三维FFT）是图像处理、数值偏微分方程求解、计算物理等领域不可或缺的工具。
	
	标准三维FFT采用行列分解法，将三维变换分解为三个方向上的一维FFT序列。对于一个$N \times N \times N$网格，其计算复杂度为$O(N^3 \log N)$，存储需求为$O(N^3)$。当$N$增大时，计算与存储成本急剧上升，使得高分辨率模拟面临巨大挑战。
	
	然而，许多物理系统天然具有高度对称性，如原子、分子、各向同性宇宙场等。这些系统的势场、波函数或物理量在旋转操作下保持不变或具有简单的变换性质。本文旨在证明，利用这种对称性，可对高维FFT进行根本性简化，将计算复杂度降低多个数量级。
	
	\section{从笛卡尔坐标到球坐标的傅里叶变换}
	
	\subsection{标准三维FFT及其复杂度}
	设函数$f(\mathbf{r}) = f(x, y, z)$定义在三维笛卡尔网格上，网格点为$(x_i, y_j, z_k)$, $i,j,k = 0, 1, \ldots, N-1$。其离散傅里叶变换为：
	\begin{equation}
		F(\mathbf{k}) = \sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=0}^{N-1} \sum_{k=0}^{N-1} f(x_i, y_j, z_k) e^{-2\pi i (k_x x_i + k_y y_j + k_z z_k)}
	\end{equation}
	采用行列分解法，先对$x$方向做FFT，再对$y$方向，最后对$z$方向，总计算复杂度为：
	\begin{equation}
		C_{\text{3D}} = O(N \cdot N \cdot N\log N) + O(N \cdot N\log N \cdot N) + O(N\log N \cdot N \cdot N) = O(N^3 \log N)
	\end{equation}
	
	\subsection{球坐标系下的变换}
	对于具有旋转对称性的系统，球坐标$(r, \theta, \phi)$是更自然的选择。函数可表示为$f(\mathbf{r}) = f(r, \theta, \phi)$。其傅里叶变换为：
	\begin{equation}
		F(\mathbf{k}) = \iiint f(\mathbf{r}) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d^3\mathbf{r} = \int_0^{\infty} r^2 dr \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi f(r,\theta,\phi) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}
	\end{equation}
	关键步骤是利用平面波的球谐波展开：
	\begin{equation}
		e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} = 4\pi \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} (-i)^l j_l(kr) Y_l^m(\theta, \phi) \overline{Y_l^m(\vartheta, \varphi)}
	\end{equation}
	其中$j_l$是$l$阶球贝塞尔函数，$Y_l^m$是球谐函数。
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			% Draw axes
			\draw[->, thick] (-3, 0) -- (3, 0) node[right] {$x$};
			\draw[->, thick] (0, -3) -- (0, 3) node[above] {$y$};
			\draw[->, thick] (2, -2) -- (-2, 2) node[above left] {$z$};
			
			% Draw a sphere
			\draw[blue, thick] (0,0) circle (2cm);
			\shade[ball color=blue!10!white, opacity=0.3] (0,0) circle (2cm);
			
			% Draw radial line
			\draw[->, thick, red] (0,0) -- (1.414, 1.414) node[midway, above left] {$r$};
			\draw[dashed] (1.414, 1.414) -- (1.414, 0);
			\draw[dashed] (1.414, 1.414) -- (0, 1.414);
			
			% Draw angles
			\draw (0.5,0) arc (0:45:0.5) node[right] {$\phi$};
			\draw (0.7,0.3) arc (45:90:1) node[above] {$\theta$};
			
			% Draw k-space sphere
			\begin{scope}[xshift=7cm]
				\draw[->, thick] (-3, 0) -- (3, 0) node[right] {$k_x$};
				\draw[->, thick] (0, -3) -- (0, 3) node[above] {$k_y$};
				\draw[->, thick] (2, -2) -- (-2, 2) node[above left] {$k_z$};
				\draw[orange, thick] (0,0) circle (1.5cm);
				\shade[ball color=orange!10!white, opacity=0.3] (0,0) circle (1.5cm);
				\draw[->, thick, red] (0,0) -- (1.06, 1.06) node[midway, above left] {$k$};
			\end{scope}
			
			% Draw connection
			\draw[->, dashed, very thick] (2.5, 0) -- (4.5, 0) node[midway, above] {FT};
		\end{tikzpicture}
		\captionof{figure}{从实空间球坐标到傅里叶空间球坐标的变换示意}
	\end{center}
	
	\section{球对称情形：汉克尔变换}
	
	若系统具有完美球对称性，即$f(\mathbf{r}) = f(r)$，则函数值与角度$(\theta, \phi)$无关。此时，球谐展开中所有$l>0$的项在积分后为零，仅保留$l=0$项。傅里叶变换退化为汉克尔变换：
	\begin{equation}
		F(k) = 4\pi \int_{0}^{\infty} f(r) j_0(kr) r^2 dr
	\end{equation}
	其中$j_0(kr) = \sin(kr)/(kr)$为零阶球贝塞尔函数。
	
	\subsection{复杂度分析}
	
	\begin{itemize}
		\item \textbf{标准3D FFT}: 数据量$N^3$，复杂度$O(N^3 \log N)$
		\item \textbf{球对称情形}: 数据退化为径向一维函数$f(r)$，只需$M \sim N$个采样点。使用快速汉克尔变换算法，复杂度为$O(M \log M)$
		\item \textbf{加速比}: $O(\frac{N^3 \log N}{N \log N}) = O(N^2)$。当$N=256$时，加速比约$10^5$倍
	\end{itemize}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[node distance=1.5cm, auto, thick,
			full/.style={rectangle, draw=red!60, fill=red!5, very thick, minimum size=15mm, text width=2.8cm, align=center},
			reduced/.style={rectangle, draw=green!60, fill=green!5, very thick, minimum size=15mm, text width=2.8cm, align=center}]
			
			% Full 3D FFT
			\node (input3d) [full] {$N^3$网格数据 \\ $f(x,y,z)$};
			\node (fft3d) [full, below=of input3d] {标准3D FFT \\ $O(N^3 \log N)$};
			\node (output3d) [full, below=of fft3d] {$N^3$频谱 \\ $F(k_x,k_y,k_z)$};
			
			% Reduced 1D case
			\node (input1d) [reduced, right=4cm of input3d] {$N$点径向数据 \\ $f(r)$};
			\node (hankel) [reduced, below=of input1d] {汉克尔变换 \\ $O(N \log N)$};
			\node (output1d) [reduced, below=of hankel] {$N$点径向频谱 \\ $F(k)$};
			
			% Arrows
			\draw[->, >=stealth, line width=1pt] (input3d) -- (fft3d);
			\draw[->, >=stealth, line width=1pt] (fft3d) -- (output3d);
			
			\draw[->, >=stealth, line width=1pt] (input1d) -- (hankel);
			\draw[->, >=stealth, line width=1pt] (hankel) -- (output1d);
			
			% Comparison arrow
			\draw[->, >=stealth, line width=2pt, dashed] (fft3d.east) to[out=0, in=180] node[midway, above] {加速比$O(N^2)$} (hankel.west);
		\end{tikzpicture}
		\captionof{figure}{标准3D FFT与球对称情形下的计算路径对比}
	\end{center}
	
	\section{一般情形：球谐波-汉克尔变换}
	
	对于不具有完美球对称性但仍有较好角向平滑性的系统，可采用球谐波展开：
	\begin{equation}
		f(r, \theta, \phi) = \sum_{l=0}^{L_{\text{max}}} \sum_{m=-l}^{l} f_l^m(r) Y_l^m(\theta, \phi)
	\end{equation}
	其傅里叶变换为：
	\begin{equation}
		F(k, \vartheta, \varphi) = \sum_{l=0}^{L_{\text{max}}} \sum_{m=-l}^{l} F_l^m(k) Y_l^m(\vartheta, \varphi)
	\end{equation}
	其中径向谱与坐标空间径向函数通过汉克尔变换相联系：
	\begin{equation}
		F_l^m(k) = 4\pi (-i)^l \int_0^{\infty} f_l^m(r) j_l(kr) r^2 dr
	\end{equation}
	
	计算流程为：
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{球谐分析}: 对每个$r_i$，将$f(r_i, \theta, \phi)$展开为球谐系数$f_l^m(r_i)$
		\item \textbf{径向变换}: 对每个$(l,m)$，将$f_l^m(r)$作汉克尔变换得$F_l^m(k)$
		\item \textbf{球谐综合}: 将$F_l^m(k)$合成$F(k, \vartheta, \varphi)$
	\end{enumerate}
	
	复杂度为$O(N_r L_{\text{max}}^2 (1 + \log N_r))$，当$L_{\text{max}} \ll N$时仍远优于标准3D FFT。
	
	\section{应用实例}
	
	\subsection{量子化学：原子结构计算}
	孤立原子具有完美球对称性，其电子波函数$\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)Y_l^m(\theta,\phi)$。薛定谔方程退化为径向方程：
	\begin{equation}
		\left[-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dr^2} + \frac{l(l+1)}{2r^2} + V(r)\right] (rR_{nl}(r)) = E_{nl} (rR_{nl}(r))
	\end{equation}
	从三维偏微分方程简化为一系列一维常微分方程，这是所有量子化学计算的基础。
	
	\subsection{宇宙学：宇宙微波背景辐射分析}
	CMB涨落具有统计各向同性，其角功率谱$C_l$包含全部宇宙学信息：
	\begin{equation}
		C_l = \frac{1}{2l+1} \sum_{m=-l}^{l} |a_{lm}|^2
	\end{equation}
	其中$a_{lm}$为温度涨落的球谐系数。从二维天空图到一维功率谱的压缩是宇宙学参数提取的关键。
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			% Draw CMB sky
			\node[anchor=south west] (cmb) at (0,0) {\includegraphics[width=0.3\textwidth]{cmb_skymap.png}}; % 需要替换为实际图片路径
			\node[above] at (0.15\textwidth, 0) {CMB天空图};
			
			% Draw arrow
			\draw[->, very thick] (0.35\textwidth, 0) -- (0.45\textwidth, 0);
			
			% Draw power spectrum
			\begin{scope}[shift={(0.5\textwidth, 0)}]
				\draw[->] (0,0) -- (4,0) node[right] {$l$};
				\draw[->] (0,0) -- (0,3) node[above] {$C_l$};
				\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(0.5,0.1) (1,0.5) (1.5,2.5) (2,1.5) (2.5,0.8) (3,0.6) (3.5,0.4)};
				\node[above] at (2, 3) {角功率谱};
			\end{scope}
		\end{tikzpicture}
		\captionof{figure{宇宙微波背景辐射从天空图到功率谱的压缩表示}}
	\end{center}
	
	\subsection{计算机图形学：球谐光照}
	环境光照用球谐系数表示：
	\begin{equation}
		L(\omega) = \sum_{l=0}^{L_{\text{max}}} \sum_{m=-l}^{l} L_l^m Y_l^m(\omega)
	\end{equation}
	着色计算简化为系数点积：
	\begin{equation}
		I(p) = \sum_{l=0}^{L_{\text{max}}} \sum_{m=-l}^{l} L_l^m A_l^m(p)
	\end{equation}
	实现实时全局光照效果。
	
	\section{结论}
	本文系统阐述了利用旋转对称性简化高维傅里叶变换的理论框架与应用实践。核心结论是：
	
	1. 对于完美球对称系统，三维FFT可严格退化为$O(N\log N)$的一维汉克尔变换，获得$O(N^2)$量级的加速。
	2. 对于一般旋转对称系统，球谐波-汉克尔变换方法在$L_{\text{max}} \ll N$时仍能提供显著加速。
	3. 该方法在量子化学、宇宙学、计算机图形学等领域有广泛应用，是处理高维对称问题的核心数学工具。
	
	这种基于对称性的简化不仅是一种计算技巧，更是连接物理洞察与数值计算的重要桥梁，为大规模科学计算提供了有效途径。
	
	\chapter{快速汉克尔变换（FHT）应用于米氏理论（Mie Theory）计算}
	将快速汉克尔变换（FHT）应用于米氏理论（Mie Theory）计算是计算电磁学中的一个高效方法，主要用于计算球型粒子对电磁波的散射。
	
	下面我将提供一个基于Python的概念性代码框架，并详细解释其核心思想和步骤。真正的生产级代码会涉及更多的优化和边界处理，但此框架清晰地展示了如何将FHT与米氏理论相结合。
	
	核心思想
	在米氏理论中，需要计算不同级数（$n$）的贝塞尔函数 $j_n(\rho)$、诺伊曼函数 $y_n(\rho)$ 及其组合（汉克尔函数）来计算散射场。其中 $\rho = k_m r$（$k_m$ 是波数，$r$ 是径向距离）。
	
	直接逐点计算这些特殊函数非常耗时。FHT的方法是将这些函数视为一个线性系统的响应。通过预先计算一个变换核，然后利用FFT（基于卷积定理）来快速计算整个径向序列上的汉克尔变换结果。
	
	Python 代码框架及解释
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[node distance=1.2cm, auto, thick,
			tradnode/.style={rectangle, draw=blue!50, fill=blue!5, very thick, minimum size=10mm, text width=2.7cm, align=center},
			cordicnode/.style={rectangle, draw=red!50, fill=red!5, very thick, minimum size=10mm, text width=2.7cm, align=center}]
			
			% Traditional FFT Path
			\node (tradtitle) [tradnode] {\textbf{传统FFT实现}};
			\node (tradmult) [tradnode, below=of tradtitle] {复数乘法 \\ 需要4次实数乘法 \\ 2次加法};
			\node (tradhw) [tradnode, below=of tradmult] {依赖硬件乘法器 \\ (DSP Blocks/ALU)};
			\node (tradpro) [tradnode, below=of tradhw] {优点：速度快 \\ (如有硬件支持)};
			\node (tradcon) [tradnode, below=of tradpro] {缺点：功耗/面积大 \\ (无硬件支持时慢)};
			
			% CORDIC FFT Path
			\node (cordictitle) [cordicnode, right=4cm of tradtitle] {\textbf{CORDIC FFT实现}};
			\node (cordicrot) [cordicnode, below=of cordictitle] {复数旋转 \\ CORDIC旋转模式};
			\node (cordicop) [cordicnode, below=of cordicrot] {核心操作：\\ 移位、加法、查表};
			\node (cordichw) [cordicnode, below=of cordicop] {只需基本ALU单元 \\ 无需硬件乘法器};
			\node (cordicpro) [cordicnode, below=of cordichw] {优点：硬件面积小 \\ 功耗低};
			\node (cordiccon) [cordicnode, below=of cordicpro] {缺点：速度较慢 \\ (迭代次数多)};
			
			% Arrows
			\draw[->] (tradtitle) -- (tradmult);
			\draw[->] (tradmult) -- (tradhw);
			\draw[->] (tradhw) -- (tradpro);
			\draw[->] (tradpro) -- (tradcon);
			
			\draw[->] (cordictitle) -- (cordicrot);
			\draw[->] (cordicrot) -- (cordicop);
			\draw[->] (cordicop) -- (cordichw);
			\draw[->] (cordichw) -- (cordicpro);
			\draw[->] (cordicpro) -- (cordiccon);
		\end{tikzpicture}
		\captionof{figure}{传统FFT实现与CORDIC加速FFT实现的对比}
	\end{center}
	\section{更专业的FHT实现}
	# 伪代码：更专业的FHT实现
	\[
	def professional_fht(f_r, n, k, precomputed_filters):
	"""
	使用预先计算的滤波器进行快速汉克尔变换
	"""
	# 1. 对输入函数进行必要的预处理和零填充
	f_padded = preprocess_function(f_r)
	
	# 2. 应用预先为阶数n和波数k计算好的滤波器
	#    (这个滤波器的计算是FHT算法的核心科研成果)
	filtered = apply_filter(f_padded, precomputed_filters[n])
	
	# 3. 使用FFT计算离散卷积
	result = fft_based_convolution(filtered, precomputed_filters['transformation_kernel'])
	
	# 4. 后处理：裁剪、缩放等
	return postprocess_result(result)
	
	# 米氏理论计算中的实际应用
	def calculate_mie_fields(k, radius, n_max):
	results = {}
	for n in range(1, n_max+1):
	# 计算每个级数的散射场
	results[n] = professional_fht(incident_field, n, k, precomputed_filters)
	return results
	\]
	
	\section{更专业的实现方法：线性滤波器方法}
	上述代码是概念性的。生产级代码通常使用预先计算好的线性滤波器来实现FHT。以下是更接近真实实现的步骤：
	
	预先计算滤波器：对特定的贝塞尔函数阶数 $n$ 和采样间隔，预先计算一个最优滤波器 g_filter。
	
	变换：使用这个滤波器将汉克尔变换转化为卷积操作。
	
	FFT加速：利用FFT和卷积定理来快速计算。
	
	# 伪代码：更专业的FHT实现
	\[
	def professional_fht(f_r, n, k, precomputed_filters):
	"""
	使用预先计算的滤波器进行快速汉克尔变换
	"""
	# 1. 对输入函数进行必要的预处理和零填充
	f_padded = preprocess_function(f_r)
	
	# 2. 应用预先为阶数n和波数k计算好的滤波器
	#    (这个滤波器的计算是FHT算法的核心科研成果)
	filtered = apply_filter(f_padded, precomputed_filters[n])
	
	# 3. 使用FFT计算离散卷积
	result = fft_based_convolution(filtered, precomputed_filters['transformation_kernel'])
	
	# 4. 后处理：裁剪、缩放等
	return postprocess_result(result)
	
	# 米氏理论计算中的实际应用
	def calculate_mie_fields(k, radius, n_max):
	results = {}
	for n in range(1, n_max+1):
	# 计算每个级数的散射场
	results[n] = professional_fht(incident_field, n, k, precomputed_filters)
	return results
	\]